Dikdörtgen Nedir? Formülleri ve Özellikleri Nelerdir?

Dikdörtgen, dört kenarı ve dört köşesi bulunan, karşılıklı kenarlarının birbirine paralel olduğu ve komşu kenarlarının birbirine dik (90 derece) olduğu geometrik şekildir. Bilindiği üzere kare de bu tanıma uyar ve bu nedenle her kare bir dikdörtgendir. Ancak tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olmadığı sürece her dikdörtgen bir karedir diyemeyiz.

Tıpkı her karenin bir dikdörtgen olması gibi, her dikdörtgen de bir paralel kenardır. Bu yazımızda, özel olarak dikdörtgenleri ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Köşegenler

Köşegen, bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Aşağıdaki görselde bulunan |AC| ve |BD| doğru parçaları, ABCD dikdörtgeninin köşegenleridir. Bu şeklin iki köşegeninin uzunluğu her zaman birbirine eşittir. Yani |AC| = |BD| olur. Aynı zamanda bu iki köşegen birbirini her zaman ortalar, yani iki eş parçaya böler.

Köşegenlerin uzunluğunu bulmak, şeklimizin kenar uzunlukları bilindiğinde oldukça kolaydır. Bunun için ihtiyacımız olan tek şey Pisagor teoremini kullanmaktır. |AC| köşegeninin uzunluğunu bulmak için ADC üçgenine, |BD| köşegeninin uzunluğunu bulmak için de BCD üçgenine bakalım:

$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|BC{|}^2}$

$|BD|=\sqrt{|AB{|}^2+|BC{|}^2}$

Bu iki köşegenin neden birbirlerine eşit olduğunu görebildiniz mi? İlk başta bu eşitliği görmek her ne kadar zor olsa da ufak birkaç düzenleme ile bu eşitliği gösterebiliriz.

Eğer |AC|'nin ifadesine bakacak olursak, |AD| ve |DC| ile ilişkili olduğunu, |BD|'nin ise, |AB| ve |BC| ile ilişkili olduğunu görebiliriz. Fakat bu köşegenleri yalnızca bir dik üçgen tanımlamaz. |AC| köşegenini, ADC üçgeni ile tanımlamak yerine, ABC üçgeniyle tanımlayabilirdik. Bu da |AC|'nin uzunluğunu |BC| ve |AB| cinsinden yazmamızı mümkün kılardı. Elde ettiğimiz bu ifadenin, yukarıda yazdığımız |BD| ifadesine eşit olduğunu kolaylıkla görebiliriz.

Dikdörtgenin Alanı

Çizdiğimiz bir köşegen, dikdörtgenin alanını iki eş parçaya, iki köşegen ise dört eş parçaya böler. Bu dört üçgenin eş alanlara sahip olduğunu kanıtlamak için herhangi bir üçgenin alanını nasıl bulduğumuzu hatırlayalım. Öncelikle şekilde gösterildiği gibi bir köşeden karşı kenara dikme indiririz. Bu dikmenin uzunluğu ile dikmeyi indirdiğimiz kenarın uzunlukları çarpımının yarısı bize üçgenin alanını verecektir.

Aynı yöntemi şeklimizin içindeki üçgenlere de uyguladığımızda aşağıdaki görselde gördüğümüz gibi her üçgenin yüksekliği, yani aynı köşeden aynı kenara indirilen dikmelerin uzunluğu birbirine eşit olmuş olur (|AH| = |CK|).

İndirdiğimiz |AH| dikmesi sayesinde hem AOD hem de AOB üçgeninin alanlarını bulabiliriz. Benzer şekilde, |CK| dikmesi de hem BOC hem de COD üçgeninin alanını bulmada kullanılabilir. Köşegenlerin uzunluğunun birbirine eşit olduğunu ve birbirini ortaladığını söylemiştik, bu da dört üçgenin tabanlarının aynı uzunlukta olduğu anlamına gelir (|DO| = |OB|). Hem dikme uzunlukları hem de taban uzunlukları aynı olduğuna göre, dört üçgenin alanlarının birbirine eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Dikdörtgenlerde Simetri

Matematikte simetrinin yansıma simetrisi, döndürme simetrisi, öteleme simetrisi gibi çeşitli türleri vardır. Bu türlere kısaca değinecek olursak; döndürme simetrisi, bir eksen etrafında döndürülen şeklin döndürüldükten sonraki halinin, döndürülmeden önceki haliyle bire bir aynı olması durumudur. Buna örnek olarak çemberi verebiliriz. Çemberi hangi açıyla çevirirseniz çevirin, daima aynı görünecektir. Keza bir kare de her 90° döndürülmesinde aynı görünür.

Öteleme simetrisi ise bir şeklin ötelendiğinde de aynı görünümde olmasıdır. Şu anda odaklandığımız ve simetri dendiğinde genellikle akla ilk gelen yansıma simetrisi ise, eksen olarak alınan bir doğruya göre alınan yansımaların birbiriyle aynı olması durumudur. Simetri ekseni ise bu doğruya verilen addır.

Kareyi bu yazımızda bahsettiğimiz dikdörtgenlerin dışında tutarsak dikdörtgenlerin iki tane simetri ekseni bulunur. Bunlar şekli tam ortadan olacak şekilde enine ya da boyuna bölen doğrulardır.

Kareyi dışarıda tutmamızın nedeni ise kare gibi tüm kenarları birbirine eşit olan dikdörtgenlerde köşegenlerin de birer simetri ekseni olmasıdır.

Formüller

Bu şeklin alanını bulmak için kenar uzunluklarından yararlanırız. Birbirine komşu iki kenarın, diğer bir deyişle iki dik kenarın uzunluklarını çarpmak bize alanı verecektir. Örneğin aşağıdaki şekilde $x\cdot y$ bize ABCD dikdörtgeninin alanını verir.

Bunu bilmeyip, üçgenin alanını bildiğinizi varsayacak olursanız. Köşegenler ve indirilen dikmeler aracılığıyla kurulan şekildeki üçgenlerin toplam alanını hesaplayabilirsiniz. Bu toplamın $x\cdot y$ çarpımına eşit olduğu görülecektir. Bu hoş ispatı size bırakıyoruz.

Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olduğundan komşu iki kenarın uzunluğunu bilmek, çevresini bulmamızı sağlayacaktır. İki komşu kenarın uzunlukları toplamının iki katı bize şeklimizin çevresini verir. Yine yukarıdaki görseli baz alırsak $2\cdot (x+y)$ dörtgenimizin çevresine eşittir.