Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!

Cebrail'in Borusu ("Cebrail'in Sûru" veya "Torricelli'nin Trompeti"), sınırlı/sonlu hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzey alanı olan, ilginç bir geometrik şekildir.

Bu geometrik şekil, adını Hristiyan inancının bir parçası olduğu söylenen (ama bu konuda tartışma bulunan), Kıyamet Günü'nde Cebrail'in üfleyeceğine inanılan sûrdan alır.^[1] Bu anlatı, İslamiyet'te İsrafil isimli meleğin üfleyeceğine inanılan, ama sûra üfleyecek meleğin adı Kuran'da geçmediği için bu konuda da tartışmalar bulunan sûr olarak karşımıza çıkmaktadır.^[2] Sûra üfleme konusundaki benzerlikleri bir yana, İsrafil isimli meleğin Hristiyanlık'taki Cebrail (Gabriel) ile değil, Raphael ile aynı başmelek olduğu düşünülmektedir (ama bu konuda da tartışmalar bulunmaktadır).^{[3], [4]}

Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda belirlenmemiştir; yani bu boru tasarımı, insanlar tarafından sonradan hayal edilmiştir. Buna rağmen, hayal edilen bu sûr şekli, matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık gelmektedir.

Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllardır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmektedir: Yukarıda da bahsettiğimiz gibi geometrik olarak Cebrail'in Borusu, sınırlı bir hacme sahip olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi zaman "Torricelli'nin Trompeti" de denir. Her hâlükarda, aşağıda, sözünü ettiğimiz "boru" veya "trompet"in şekli görülmektedir:

Wikipedia

Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; dolayısıyla sadece matematiksel bir kavramdır. Buna rağmen, çok ilginç özellikleri bulunmaktadır.

Cebrail'in Borusu'nun Matematiği

Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için, $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun grafiğinin $x>1$ bölgesi ele alınır. Daha sonra bu eğri $x-$ ekseni etrafında 360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Cebrail'in Borusu adı verilir. Aşağıda, bu borunun nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir:

Cebrail'in Borusunun Yüzey Alanı Nasıl Hesaplanır?

Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını hesaplayabiliriz. Biliyoruz ki bir $f$ fonksiyonunun $x-$ ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin yüzey alanı şöyle hesaplanır:

${\int }_a^{b}2\pi f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x{)}^2}dx$

Cebrail'in borusu için $f(x)=\frac{1}{x}$ ve $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ olur. Bu ifadeleri integralde yerine koyacak olursak yüzey alanımız için integral şöyle olacaktır:

${\int }_1^{\infty }\frac{2\pi }{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx$

Bu integralin ıraksadığını, yani yanıtının sonlu bir değer olmadığını göstereceğiz. Biz biliyoruz ki $x>1$ için:

$\frac{2\pi }{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}>\frac{2\pi }{x}$

ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_1^a\frac{2\pi }{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx>\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_1^a\frac{2\pi }{x}dx$

olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren integrallerin hesaplanması için kullanılan metottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu biliyoruz:

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\int }_1^a\frac{2\pi }{x}dx=\underset{a\to \infty }{\lim }2\pi \ln a=\infty$

Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız integralin değeri de $\infty$'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı değildir.

Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?

Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgedir. Kalkülüs'ten bilindiği üzere $f$ fonksiyonu ile $x-$ ekseni arasında kalan bölgenin $x-$ ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:

${\int }_a^b\pi (f(x){)}^{2}dx$

Burada $f(x)=\frac{1}{x}$'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:

${\int }_1^{\infty }\pi \frac{1}{x^2}dx=\underset{a\to \infty }{\lim }\pi \left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi$

sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi $\pi b{r}^3$ olarak bulunur. Bu, sonlu bir sayıdır.

Sonuç: Sonlu Hacim, Sonsuz Alan!

Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen, sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, yukarıdaki videoda gösterildiği gibi Cebrail'in borusunun içini boya ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra boya eklemeye devam ederseniz, boya taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.

Ne var ki o boyayı kullanarak, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi $\pi b{r}^3$ iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey $\infty$ olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya asla yetmezdi. İşte bu nedenle kimi zaman bu probleme Boyacı Problemi de denmektedir.