Cebirin Temel Teoremi Nedir?

Şayet üniversitede sayısal bir bölüm okuduysanız "Kalkülüsün temel teoremi" diye bir teoremi mutlaka duymuşsunuzdur. Basitçe bu teorem bize türev ile integral arasında bir ilişki olduğunu söyler ve hem matematikte hem de temel ve uygulamalı bilimlerde oldukça faydalı bir araçtır. İsminden anlaşılacağı üzere, kalkülüsün temel teoremi oldukça temel bir teoremdir çünkü bütün analiz (matematiğin bir dalı) kalkülüsün temel teoremi üzerine inşa edilmiştir.

Peki ya matematiğin öbür dalları, onlar da böyle bir teorem üzerine inşa edilmişler midir? Bunun cevabı evet! Bu yazımızda da matematiğin tarihsel olarak ikinci ortaya çıkan ve günümüzde matematikçiler arasında en popüler çalışma alanlarından biri olarak cebirden bahsedeceğiz. Daha spesifik olarak, cebirden değil, cebirin temel teoreminden (veya d'Alambert Teoremi veya d'Alambert-Gauss Teoremi) bahsedeceğiz.

Cebirin Temel Teoremi, Cebirin Temel Teoremi Değil!

Ancak burada ilginç bir detay var: Kalkülüsün temel teoremi, gerçek anlamıyla kalkülüsün en temel teoremi iken ve kalkülüsün geri kalanı (ve modern kalkülüs ve diferansiyel denklemler) o teorem üzerine inşa edilmişken, bugün inceleyeceğimiz "cebirin temel teoremi", modern cebir aslında bu temel teorem üzerine inşa edilmiş değildir. Bu, tarihsel bir hatalı isimlendirmedir; zira "cebirin temel teoremi" geliştirildiğinde, "cebir" dediğimiz matematik dalı "denklemler teorisi" olarak bilinen çok daha antik bir yapıdaydı. Bu teorem, o dönemde var olan teori için oldukça temel ve önemliydi; fakat modern cebir, "cebirin temel teoremi"nin çok ötesine geçmiştir. Dolayısıyla kalkülüsün temel teoreminin matematikteki yeri ve önemiyle, cebirin temel teoreminin matematikteki yeri ve önemini kıyaslamak doğru olmayacaktır.

Üstelik birazdan göreceğimiz üzere, ilginç bir şekilde, "cebirin temel teoremi"nin tamamen cebire dayalı bir ispatı bulunmamaktadır. Bu teoremi ispatlayabilmek için, reel sayıların tamlığının (İng: "completeness of the real numbers") bir türü kullanılmak zorundadır. Bu tamlık, cebirsel bir kavram değildir ve karmaşık sayılara ihtiyaç duymaktadır. Bu da cebirin temel teoreminin pek de "temel" olmadığına işaret etmektedir.

Yine de tarihsel önemi ve matematikteki genel yeri bakımından bu teoremden bahsetmekte fayda görüyoruz.

Cebirin Temel Teoremi Nedir?

Teoreme değinmeden önce birkaç basit tanım yapacağız.

Tanım: Kompleks Sayılar (ve $i$ Sayısı)

$\mathbb{C}:=\{x+iy|x,y\in \mathbb{R},i=\sqrt{-1}\}$

olarak tanımlanan kümeye "kompleks sayılar kümesi" denir. Buradaki $i$ sayısının oldukça ilginç bir hikayesi var, yeri gelmişken ona da kısaca değinelim.

$i$ sayısının genelde şu denklemin kökü olarak tanımlandığı düşünülür:

$x^2+1=0$

Ancak sayının tarihsel gelişimi öyle değildir. Elbette, günün sonunda yine bu denkleme ulaşılır; ancak tarihte ilk olarak kübik denklemlerin çözümünde matematikçilerin karşısına "-1 sayısının karekökü" ifadesi çıkmıştır. Bu sayının gerçek sayılar kümesinde bir karşılığı olmadığı için, -1'in karekökünü ayrı bir sayı olarak kabul edilmiş ve toplama ile çarpma işlemleri aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.

$(a+b\sqrt{-1})+(c+d\sqrt{-1})=(a+c)+(b+d)\sqrt{-1}$

$(a+b\sqrt{-1})\times (c+d\sqrt{-1})=(ac-bd)+(cb+ad)\sqrt{-1}$

Kısmen yanlış bir düşünce olsa da okur zihninde kolay canlandırması açısından, bu işlemlerin, köklü sayılardaki işlemlere benzediği düşünebilir. Daha sonrasındaysa her defasında -1'in karekökünü yazmak zor geldiği için, bunun yerine notasyon olarak "$i$" kullanmak yaygınlaşmıştır. Ayrıca belirtmekte fayda var ki bazı mühendislik dallarında "$i$" yerine (yeri geldiğinde) "$j$" de kullanılır; yani tüm dünyanın uzlaştığı bir notasyon yoktur.

Kompleks sayılar hakkında konuşacak çok şey var; ama şimdi polinom kavramını tanımlayalım ve ardından teoremimize geçelim.

Tanım: Polinom

$\mathbb{C}$ kompleks sayılar kümesi olmak üzere,

$\mathbb{C}[x]:=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n|a_i\in \mathbb{C},n\in \mathbb{N}\}$

olarak tanımlanan küme, kompleks katsayılı polinomların kümesidir. Bu kümenin her elemanına "kompleks değerli polinom" denir. Biz, kısaca "polinom" diyeceğiz. En yüksek kuvvetli terimin derecesine bu "polinomun derecesi" denir. Şimdi bu kümenin elemanlarına bir göz atalım. Örneğin:

$p(x)=ix+(2-i)x^2$

$\mathbb{C}[x]$ üzerinde bir polinomdur ve derecesi 2'dir çünkü en yüksek dereceli terimin üssü 2'dir.

$q(x)=\sqrt{x}+9i{x}^4$

ise bir polinom değildir; çünkü $x$'in karekök içinde olduğu bir terim görüyoruz - ki polinom tanımına baktığımızda kuvvetlerin doğal sayı olması gerekmektedir. Oysa karekök, 1/2. kuvvet ile özdeştir; yani bu kuvvet, bir doğal sayı değildir.

Teorem: Cebirin Temel Teoremi

Cebirin temel teoreminin şunu söylediği söylenir:

• Teorem: $p(x)\in \mathbb{C}[x]$, $n$. dereceden bir polinom olmak üzere, $p(x)=0$ denklemini çözen $n$ farklı kompleks $x$ sayısı vardır.

Bu teoremi anlamaya çalışalım. Örneğin $p(x)=x^2+4x+3$ polinomunu ele alalım. Bu polinomun derecesi $2$ olduğundan, cebirin temel teoremine göre $2$ tane kökü olmalıdır. Gerçekten de $-3$ ve $-1$ bu polinomun kökleridir (bunu kendiniz de deneyebilirsiniz).

Fakat hemen dikkatinizi çekebilir: $q(x)=x^2+2x+1$ polinomuna baktığımızda, tek kökün $1$ olduğunu, başka kök olmadığını görürsünüz, ama neden? Yoksa cebrin temel teoremi yanlış mı?

Hayır, yanlış değil elbette. Fakat biz teoremi, bilerek eksik ve yanlış verdik. Bu teorem, genelde bu haliyle bilinse de görüleceği üzere bu haliyle yanlıştır. Maalesef bu teorem, popülarite uğruna çokça çarpıtılmış bir teoremdir. Doğrusunu şimdi veriyoruz.

Teorem: Cebirin Temel Teoremi (Gerçek Versiyonu)

Cebirin gerçek/esas versiyonu şöyledir:

• Teorem: $p(x)\in \mathbb{C}[x]$ , $n.$ dereceden bir polinom olmak üzere, $p(x)=0$ denklemini çözen  en az $1$, en çok $n$ tane $x$ kompleks sayısı vardır.

Şimdi bu teoremi istediğiniz polinomla test edin, bu teoremin her zaman doğru olduğunu göreceksiniz.

Burada matematikten keyif alan kişiler, bu versiyonun bir öncekinin havasını vermediğini, o halinin daha iddialı durduğunu düşünebilirler. Belki öyle gelebilir; ancak bu hali kesinlikle çok daha iddialıdır; çünkü bu teorem, bu haliyle, elinizde bir polinom varsa bu polinomun her zaman 1 kökünü kompleks sayılarda bulabileceğiniz söylemektedir.

Örneğin $p(x)=x^2+1$'i deneyin, kökleri $i$ ve $-i$ çıkacaktır. Bu polinomun reel sayılarda hiç çözümü olmamasına rağmen kompleks sayılarda çözümü vardır. Bu yüzden bu teorem, kompleks sayılar kümesini bu kadar güçlü yapan teoremlerden birisidir. Size bu kümede her zaman bir kök bulabilme hakkı tanır. Ayrıca size bulabileceğiniz maksimum kök sayısını da söyler.

Peki bu teoremin nasıl uygulamaları vardır?

Cebirin Temel Teoreminin Uygulamaları

Lineer Cebir Üzerine Bir Uygulama

Bu uygulamayı anlayabilmeniz için matris ve determinantları bildiğinizi varsayıyoruz, çünkü burada hepsine girmemiz konuyu çok dağıtırdı.

Elimizde $n\times n$'lik kompleks değerli bir $A$ matrisi olsun. Cebirin temel teoremi, bu matrisin her zaman bir özdeğerinin olduğunu söyler. Çünkü özdeğerler

$\det (A-\lambda I)=0$

polinomunun kökleridir. Bu polinomun katsayıları kompleks sayı olduğundan (matrisimizin satır-sütun elemanlarının kompleks sayı olduğunu varsaydık), cebirin temel teoremine göre bu matrisin en az $1$ en çok $n$ tane özdeğeri vardır.

Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Cebrin temel teoremi bize bir $p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$ polinomunun $1\le m\le n$ arasında bir kök sayısına sahip olduğunu söyler. Bu kökleri $x_1,x_2,...,x_m$olarak isimlendirelim. O halde cebirin temel teoremi, bu polinomun alternatif olarak

$p(x)=A(x-x_1{)}^{k_1}(x-x_2{)}^{k_2}...(x-x_m{)}^{k_m}$

şeklinde yazılabileceğini söyler. Burada $A$ bir kompleks sayıdır, ayrıca polinomun baş katsayısı da denir. $k_1,k_2,...,k_m$ ise köklerin "katlılığı" (İng: "multiplicity") olarak adlandırılır. Örneğin $x^2-2x+1=0$ polinomunun iki kökü de $1$'dir; yani $1$'in katlılığı $2$'dir, çünkü iki tane o kökten vardır.

Polinomların bu hali, üzerlerinde işlem yapmayı çok kolay hale getirir, çünkü çarpım durumundaki terimlerle uğraşmak daha rahattır. Bu cebrin temel teoreminin en güçlü uygulamalarından birisidir.