Bir Salgının Ne Zaman Duracağını Tahmin Etmek Neden Zordur?

COVID-19 salgını devam ettikçe insanların giderek yüksek sesle sormaya başladıkları bir soru, "Bu salgın ne zaman bitecek?"

Bıkkınlık ve tükenmişlik ile sorulan bu soruya verilebilecek en iyi cevap, ABD Ulusal Alerji ve Enfeksiyon Hastalıkları Direktörü Anthony Fauci tarafından verilmişti: "Salgının zaman çizelgesini insanlar olarak biz belirlemiyoruz, virüs belirliyor."

Ancak salgınların gidişatı ve hangi noktadan sonra yavaşladığı epidemiyologların da (salgın bilimcilerin) merakla incelediği, önemli bir konudur. Bu nedenle bu konudaki iki zorluğa ve kritik hataya dikkat çekmekte fayda görüyoruz.

Salgınlar bir kere başladıktan ve yayıldıktan sonra genellikle 2 fazdan geçerler: Üstel (Eksponansiyel) Evre ve Duraklama Evresi.

Salgının başından beri bu ilkini epey duyduk; çünkü salgın yeni bir hastalıkta başladığında hızla üstel (veya eksponansiyel) bir hızlanmaya kavuştu. Aslında eksponansiyel artış ile üstel artış aynı şey değildir; ancak grafik üzerinde (hele ki grafiğin tamamı henüz belli değilken) birbirlerine fazlasıyla benzerler.

Üstel artışları da eksponansiyel artışları da "giderek hızlanan artışlar" olarak düşünebilirsiniz. Örneğin 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1028,... şeklinde devam eden bir artış, eksponansiyel bir artıştır ve en azından bu örnekte $2^x$ ile ifade edilir. Yani her bir sayı, kendisinden önce gelen sayının 2 ile çarpılmasıyla elde edilir.

Öte yandan 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512,... şeklinde devam eden bir artış, üstel bir artıştır ve en azından bu örnekte $x^3$ ile ifade edilir. Yani sayılar birer birer artarken, her seferinde 3'üncü kuvvetleri alınır.

Eksponansiyel artışlar, bazı diğer artış modellerine göre daha yavaşmış gibi başlar; ancak sonradan onları geçebilir. Bir örneğini aşağıda görebilirsiniz:

Wikipedia

İkincisi, yani Duraklama Evresi ise bıkkınlık ve sıkılma sonucu daha sık duyduğumuz bir kavram; ancak bu kavrama gereğinden erken başvurmak ve önlemleri kısıtlamak, daha hızlı üstel artışların geri dönmesine kapı aralama tehlikesine sahiptir.

Eksponansiyel Artışın Yavaşladığını Nasıl Bileceğiz?

Eksponansiyel (ve üstel) artışlar gerçek hayatta sonsuza kadar devam edemezler; çünkü genellikle belli bir veya birkaç fiziksel sınırlandırıcı faktör ile yavaşlatılırlar. Örneğin salgınlarda hasta sayısı sonsuza kadar artamaz; çünkü en azından insan popülasyonu sonludur (7-8 milyar civarında kişiden fazlası hasta olamaz). Dahası, popülasyonun belirli bir yüzdesi direnç kazandıktan sonra virüsün yayılma alanı da kısıtlanacaktır; yani birçok salgın, tüm popülasyona ulaşamadan çok önce yavaşlar ve durur.

Bu yavaşlama ve durma, giderek artan fonksiyonların bir noktadan sonra bükülerek sabitleşmesi olarak kendini gösterir. Bunlara S-şeklinde Eğri adı verilir. Bunun bir örneğini en tepedeki ana görselden görebilirsiniz.

Ama bir sıkıntı var: Eksponansiyel artışın içerisinde ilerlerken, hangi noktada yavaşlamaya başladığını bilmek çok zordur. Çünkü olaylar olup bittikten sonra grafiğin S şeklinde olduğunu görmek kolay olsa da, o grafiğin evrimi sırasında böyle bir öngörüye sahip değilizdir. Eksponansiyel artış 3 gün daha mı devam edecek? 20 gün daha mı? 3 yıl daha mı? Bunun kolay bir cevabı yoktur. Ancak bir salgın söz konusu olduğunda, bunu tespit etmek müthiş öneme sahiptir; çünkü buna bağlı olarak yüz binlerce mi, yoksa on milyonlarca mı kişinin hasta olacağı öngörülebilir.

Buna yönelik geliştirilebilecek yöntemlerden birisi, MinutePhysics isimli YouTube kanalı ile bilim anlatıcısı ve eğitmen Aatish Bhatia tarafından geliştirilen bir grafiktir. Bu grafikte, yatay eksene genellikle konulan zaman (örneğin gün) yerine, toplam vaka sayısı; düşey eksene ise günlük (veya haftalık) yeni vaka sayısı konur. Grafik, lineer olarak çizilmek yerine, log-log olarak çizilir; yani her iki eksen de 1, 2, 3, 4 diye artmak yerine 1, 10, 100, 1000 diye artar ve bu sayede ülkeler arasındaki farklar sıkıştırılarak birbirine benzer bir aralığa getirilir. Ekip, yöntemlerini bu videoda anlatmaktalar:

Bu yöntem sayesinde bütün ülkeler belli bir eksponansiyel gidişat çizgisine otururlar. Bu çizgi, az önce sözünü ettiğimiz "neresinde olduğumuzu ve ne noktada biteceğini bilmediğimiz" çizgidir. Ancak bazı ülkeler, bu çizgiden ayrılarak aşağı düşerler. Bu ülkeler, toplam vaka sayısına göre yeni gelen vaka sayıları azalan ülkelerdir. Bu, salgının kontrol altına alınmaya başlandığını gösterir! En azından onun işaretlerinden birisidir...

Bu grafiği biraz daha az sayıda ülkeyle ve son durumu yansıtacak şekilde, Türkiye'yi de ön plana çıkaracak biçimde yeniden ürettik. Sonuçlarımız şöyle:

Evrim Ağacı

Burada yapılan, mutlak vaka sayılarına odaklanmak yerine, bu sayıların değişimine odaklanmaktır. Çünkü tüm ülkelerin yaklaşık olarak benzer bir gidişatta olduğunu biliyoruz; bizim için önemli olan, bu gidişatın ne kadar değiştiği. Yukarıdaki grafik, bunu güzel bir şekilde yakalamayı başarıyor.

Ayrıca buradaki kritik bir diğer uygulama, yatay eksende zamanın olmamasıdır. Yatay eksene zamanı koymak sağduyulara en uygun yaklaşım olsa da, zamanın bir salgında hiçbir önemi yoktur. Salgının daha fazla yayılıp yayılmayacağını belirleyen Mart veya Kasım ayında olmamızdan ziyade, toplam kaç adet vaka bulunduğu ve dolayısıyla virüsün bulaşabileceği daha fazla insan olup olmadığıdır. Bu nedenle yatay eksene toplam vaka sayısını koymak makuldür.

Tabii ki bu grafiğe olduğundan fazla anlam yüklemek veya hatalı bir şekilde okumak yanlış düşüncelere neden olabilecektir. Örneğin, MinutePhysics'in videosunda da anlatıldığı üzere, logaritmik skalanın gerçek gidişatı sıkıştırdığı ve dolayısıyla algınızı yanıltabileceği; zamanın halen grafikte var olduğu ama animasyonun kendisiyle temsil edildiği; toplam vaka sayısının "gerçek" vaka sayısı olmadığı ve sadece test edilme düzeyinde vaka tespit edilebileceği gibi detaylar unutulmamalıdır.

Bu konuda daha fazla grafiği COVID-19 raporumuzdan veya buradan görebilirsiniz.

Erken Dönem Gelecek Tahminleri Neden Tehlikelidir?

Bu grafikten öğrendiklerimizden yola çıkarak, şunu da fark etmekteyiz: Birçok kişi, epidemiyolojik problemlere sıradan veri işleme problemi olarak yaklaşmakta, eldeki birkaç veri noktasından gidişatı tahmin etmeye, 3 gün veya 3 hafta sonraki vaka sayısını öngörmeye çalışmaktadır.

Ancak bu, S-şeklindeki grafikler için berbat bir yaklaşımdır.

Bunun nedenini anlamak için de Constance Crozier tarafından görselleştirilen şu harika grafiğe bakış atabiliriz:

Bu grafikte x ile işaretlenmiş olan noktalar, gerçek veri noktalarıdır. Dolayısıyla siyah grafik, o veri noktalarını gerçekten temsil eden, S-şeklindeki bir eğridir.

Ancak diyelim ki bu noktaların hepsini henüz bilmiyoruz ve vaka sayıları geldikçe, biz de geleceği tahmin etmeye çalışıyoruz. Elimizdeki verilere yönelik en iyi tahminimizi kırmızı grafik gösteriyor.

Videoyu izleyecek olursanız, veri noktaları gelmeyi sürdürdükçe, tahminimiz (kırmızı grafik) de güncelleniyor; ancak gerçekte olacak olana (siyah çizgiye) yakınsaması için neredeyse vakaların tamamının ortaya çıkması, salgının neredeyse sonuna gelmemiz gerekiyor. O noktaya kadar olan tahminlerin neredeyse tamamı hatalıdır.

COVID-19 salgınının da S-şeklindeki bir eğriyi takip edeceğini bildiğimiz için, henüz salgının başındayken, geleceğine yönelik çıkarımlar yapmak; en azından bunları çok basit tahmin algoritmalarıyla, çok az sayıda veri noktasına en iyi tahmin grafikleri oturtmak yoluyla yapmak büyük bir hata olacaktır.

Bu demek değildir ki epidemiyolojik olgular öngörülemez. Tam tersine, SIR Modeli veya SEIR Modeli gibi epidemiyolojik modeller sayesinde salgınların gidişatını modellememiz mümkündür. Bununla ilgili enfes bir uygulamayı Epidemik Hesaplayıcı isimli siteden görebilirsiniz. Ancak görebileceğiniz gibi tahminler, veri noktasına en uygun eğriyi oturtmak yoluyla değil, diferansiyel denklemler ve salgın dinamiklerine yönelik bilgilerimiz ışığında yapılmaktadır.

Sonuç olarak, salgın gidişatına yönelik analizler bize önemli bilgiler verse de, hangi analizin ne tür kısıtları olduğunu anlamak büyük öneme sahiptir. Burada, S-şeklindeki eğrilere yönelik bazı sorunları kısaca incelemeye çalıştık. Bundan çok daha fazla problem olabileceği gibi; bu problemlere yönelik olarak burada anlatabileceğimizden çok daha fazla sayıda matematiksel ve istatistiki çözüm yöntemleri de önerilmiştir. Buradaki amaç, sadece analizlere dikkatli yaklaşmanız konusunda bir uyarıda bulunmaktır.