Arılar Peteklerini Neden Altıgen Yaparlar? Bunu Nereden Biliyorlar veya Nasıl Öğrendiler?

Arılar ve karıncalar gibi sosyal hayvan cinsleri, gerçekten de muhteşem yeteneklere sahiptirler. Çoğu zaman, vücut büyüklüklerine göre oldukça iri olan beyinleri sayesinde, kendilerinden beklenmeyecek kadar ciddi ve şaşırtıcı işlerin üstesinden gelebilirler. Bunların belki de en ilginci, arıların peteklerinde kullandıkları hücreler ve bunların mimarisidir. Bu konuyu, Darwin üzerinden anlatmak istiyoruz:

Darwin, 1859 yılında Türlerin Kökeni'ni yayınlamadan önce biliyordu ki, eğer ki böyle bir kuramı ilan edecekse, kuram bu tip ayrıntı gibi gözüken ama önemli sorulara da cevap verebilmeliydi: Madem her şey genel olarak basitten karmaşığa doğru evrimleşiyor, arılar peteklerini nasıl altıgen ve şimdiye kadar bilinen en verimli biçimde inşa edebiliyorlar? Önceki basamakları nelerdir? Tüm arılar altıgen yuvalar mı inşa ederler?

Darwin, Down House olarak isimlendirilen evinde, bu konuda sayısız araştırma yapmıştır. Darwin zamanına kadar bilim insanları bütün arıların altıgen hücreler inşa ettiklerini sanıyorlardı. Dönemin saygın biyologlarından Lord Brougham, Darwin'in Evrim Kuramı'nı küçümsemek için, hiçbir arının altıgenden başka petek yapısına sahip olmadığını, dolayısıyla da asla arıların böyle bir evrim geçirmemiş olduğunu ileri sürdü. Darwin ise, mutlaka doğada bu tip daha silindirik yapıda ve basit düzende olan petekler inşa eden arılar olduğunu geniş ve çağının ötesindeki öngörüleri sayesinde biliyordu; ancak nerede bulacağı hakkında bir fikri yoktu.

Ne var ki Darwin, uzun mektuplaşmalar ve araştırmalar sonucunda, aradığı canlıyı buldu: Melipona domestica. Meksika Arısı olarak bilinen bu arı, diğer arılardan farklı olarak oldukça yuvarlak ve daha "kaba" olarak tabir edilebilecek petek hücreleri inşa ediyordu. Bu arıların bal petekleri de en nihayetinde altıgene yakınsıyordu; ancak diğer arıların ürettiği bal peteklerine (örneğin en tepedeki görselde bulunan bal peteğine) nazaran çok daha yuvarlak ve üstünkörü idi. Adeta yuvarlak bir tasarım ile, tam altıgen bir tasarım arasında geçiş türü gibiydi!

Your Beeting Heart

Wikipedia

Bütün doğa bilginleri bilir ki, yuvarlak ve köşesiz bir yapı inşa etmek, köşeli bir yapı inşa etmekten kat be kat kolaydır. Örneğin kuşların yuvaları da bu sebeple daireseldir. Öte yandan altıgen geometri, en az alan sarfiyatı yaparak en çok ve en sık paketlemeyi sağlayan geometridir. Ancak elbette arıların, özellikle de arıların en erken atalarının bunu bilmesinin bir yolu yoktu.

Altıgen Bal Peteklerinin Evriminde 2 Olasılık

Dolayısıyla iki olasılık vardı: Ya arıların ataları en olası şekil olan yuvarlak bal petekleri inşa ediyorlardı ve zaman içinde dörtgen, beşgen, altıgen gibi farklı şekillerde bal peteği inşa edenler arasından en avantajlı mimari olan altıgen şekle sebep olan genler seçildi; ya da arılar herhangi bir şekilde, özellikle de yuvarlak olacak biçimde bal peteklerini inşa ediyorlar ama fizik yasaları bu şekilleri ister istemez altıgene zorluyor. Ya da bu iki olasığın her ikisi de bir arada işledi.

Olasılık 1: Arıların Bal Peteklerini İnşa Eden Fiziktir; Biyoloji Değil!

Darwin bu noktadan yola çıkarak, yine çağının ötesinde bir önermede bulundu: Aslında tüm arıların petek hücrelerinin dairesel olduğunu ileri sürdü. Ancak çoğu arı, bu petekleri birbirine o kadar yakın ve sık inşa ediyorlardı ki, petekler fiziksel basınç altında eğilip bükülüyor ve düzenli bir dağılım sebebiyle altıgen ve birbirine bitişik bir örüntü halini alıyorlardır. Bunun basamakları aşağıda görülebilir:

Brilliant

Brilliant

Brilliant

Yukarıdaki silsileyi takip edecek olursanız, birbirine bastırılan dairelerin fiziksel kuvvetler altında geometrik olarak hep 120 derecelik açılarla paketlendiğini görürsünüz. İç açılarının her biri 120 derece olan tek bir geometrik şekil vardır:

SlidePlayer

Yani arıların pek bir bilgiye sahip olmasına gerek yoktur; bal petekleri, fiziksel kuvvetler altında, doğal olarak altıgen şekle dönüşmektedir. Gerçekten de, aşağıdaki hızlandırılmış videoda dev hornet türü bir arının inşa ettiği peteklerin arı tarafından özellikle altıgen yapılmadığı (hatta oldukça kaba bir yuvarlak şeklinde inşa edildiği), sadece komşu gözenekler sıkışık bir alana zorlandığında fiziksel kuvvetler altında altıgene dönüştüğü görülmektedir:

İspanya/Barcelona'da bulunan Cosmo Caixa Bilim ve Tarih Müzesi'ne şahsen gitme fırsatı bulacak olursanız, orada arıların neden ve nasıl altıgen hücreler ürettiği bir görsel ve interaktif deneyle öğrenebilirsiniz. Bunun bir kaydı bulunmadığı için, size izah etmeye çalışalım:

Bir kap düşünün. Bu kap, dikey duruyor ve genişliği çok küçük, 5 milimetre kadar. Yapısı dairesel. Buna, yukarıdan küçük, küresel su baloncukları bıraktığınızı düşünün. Baloncuklar, yukarıdan aşağıya düşecek ve kabın altı kapalı olduğudan aşağıda birikmeye başlayacak. Bu şekilde sürekli devam ettiğinizde, bir süre sonra kabınız dolmaya başlayacak ve su baloncuklarınızın uzun bir süre küresel görünmeye devam ettikten sonra, sıkışmaya ve etraflarındaki diğer su baloncuklarının birbirlerine yaptıkları kuvvetlerin artmaya başlamalarıyla birlikte altıgen bir şekil aldıklarını göreceksiniz.

İşte bal peteklerindeki hücreler de bu sebeple altıgendir. Esasında dairesel olarak inşa edilen petekler, sık dokundukları için altıgen bir şekil alırlar. Bu olaya "kendi kendine organizasyon" (İng: "self-organization") denir ve yalnızca fizik yasaları altında bu şekil oluşabilmektedir. Bu durumu, sabun baloncuklarında görmek mümkündür:

Reddit

Arıların bal peteklerinin üretimi sırasında en dış kısımlarda altıgen geometri daha belirsizdir; ancak inşaat sürdükçe o kısımların altıgen yapısı daha belirgin hale gelir:

Çünkü balmumunun inşa edildiği kısımlar halen sıcaktır ve sıcaklık altında mum eriyerek, rahatlıkla şekil değiştirir ve en verimli altıgen şekle bürünür. Yapılan çalışmalarda, bal peteklerindeki geometrinin matematikte görmeyi beklediğimizden birkaç derece saptığı gösterilmiştir. Ayrıca 1965 yılında László Fejes Tóth tarafından yapılan bir çalışmada, bal peteklerinin trihedral piramidal formlarının teorik olarak en verimli geometrik şekil olmadığı, aslen daha küçük 2 rhombus ile daha verimli bir paketleme elde edilebileceği gösterilmiştir. Ancak iki geometri arasındaki fark %0.035 civarındadır; dolayısıyla evrimsel süreçte bu iki geometrik avantaj arasındaki fark tespit edilemez olabilir. Çünkü zaten arı kovanlarında gördüğümüz geometri kusursuz değildir ve hata payları, bu ufak avantaja göre çok daha büyüktür.

Olasılık 2: Altıgen Bal Petekleri Evrimin Ürünüdür!

Ancak tüm biyologlar yukarıdaki açıklamada henüz hemfikir değiller. Bazıları, arıların evrimsel süreçte altıgen geometriye sahip olacak biçimde evrimleştiğini ve günümüzde zaten peteklerini altıgen biçimde inşa ettiklerini ileri sürmektedirler. Yani altıgen şeklin ardındaki evrimsel avantaj unutulmamalıdır. Gerçekten de altıgene yakınsayan şekiller evrimsel süreçte seçilmiş olabilir.

Altıgen tasarım, en az balmumu (İng: "wax", yani petek yapımında kullanılan, baldan üretilen madde) kullanır. Dolayısıyla, daha farklı yapıda inşa etmeye kalkanlar (örneğin dediğiniz gibi beşgen, vs.), daha çok yapı maddesi kullananarak dezavantajlı olacaktır; çünkü besin olarak biriktirilecek bal miktarı düşecektir. Benzer şekilde, en başından dairesel bal petekleri inşa eden arılar arasından, altıgen mimariye daha eğilimli olanlar (genler nedeniyle davranışlarında bu yönde bir eğilim olanlar) daha verimli yuvalar inşa edeceği için daha avantajlı olacak ve evrimsel süreçte seçilecektir.

Bu da mantıklıdır; çünkü bal petekleri arıların hayatta kalabilmesi için inanılmaz büyük bir role sahiptir. Ancak balmumu kullanarak bal peteklerini inşa etmek çok zorlu bir iştir: Bir arının 28 gram balmumu üretebilmek için 225 gram bal tüketmesi gerekir. Ama tek bir bal arısı, ömrü boyunca sadece 0.35 gram bal üretebilir ve bunun için de her bir sürüde bulunan ortalamada 50.000 arının toplamda 90.000 kilometre uçması ve bal kilogramı başına yaklaşık 4 milyon çiçeği ziyaret etmesi gerekir. Dolayısıyla arıların bel peteklerini optimize etmesi (en uyumlu hale getirmesi) evrimsel ve hayati bir zorunluluktur; alternatifi yoktur.

Dolayısıyla modern arılar gerçekten de altıgen petekler inşa etmektedirler; çünkü bu eğilimi onlara veren genler nesiller boyunca seçilmiştir.

Hemfikir Olunan Nokta: Altıgen, En Verimli Şekil

Henüz bu iki olasılıktan hangisinin biyolojik olarak doğru olduğu kesin değil; ancak matematikçiler ile arıların hemfikir oldukları bir nokta var: Her nasıl oluşursa oluşsun, altıgen geometri en az miktarda balmumu harcayarak en fazla sayıda ve en sıkı paketlenmiş gözeneklerin yapılmasının en verimli yoludur. Buna matematikte bal peteği sanısı (İng: "honeycomb conjecture") adı verilir. Gelin buna biraz bakalım:

Bal Peteği Sanısı: 2 Boyutta Paketleme?

Matematik tarihinde önemli teorem, denklem, kuram, ispat, paradoks ve sanılar onunla ilgili ilk fikri yürüten kişinin adıyla anılır. Ancak bal peteği sanısı kim tarafından ortaya atıldığı belli olmamakla birlikte, yüz yıllar boyunca uğraşılagelmiş bir matematik sanısıdır.

Bir soru: Bir bakkal ve bal arılarının ortak noktası nedir? Elbette, her ikisi de başkalarına yiyecek sağlama konusunda oldukça beceriklidir. Ancak bu soruya daha zengin ve daha teknik bir cevap verecek olursak: Bakkal ve bal arıları kaynaklarını nasıl verimli bir şekilde paketleyeceklerini "biliyor" olabilirler.

Arılar tarafından salgılanan balmumundan yapılan petekler, bal, polen ve larvaları depolamak için kullanılır. Binlerce yıldır, petek altıgen araştırılmış ve hayranlık duyulmuştur. Bugün ise petek yapıları, havacılık ve uzay endüstrisi de dahil olmak üzere çok sayıda mühendislik ve bilimsel uygulamaya sahiptir.

Peteklerin neden altıgen bir yapısı vardır? Bu soruyu ilk sorgulayanlardan birisi İskenderiyeli Pappus’dur, arıların “ilahi bir simetri duygusuna sahip olduklarını” söylemiştir. Bu söylemin altında yatan neden ise, basit matematiksel terimlerle ifade edilecek olursa: Pappus, alanı 1 olan karenin çevresinin 4, alanı 1 olan eşkenar üçgenin çevresinin daha büyük, yaklaşık olarak 4.6 olduğunu bulmuştur. Alanı 1 olan altıgenin çevresi ise en düşük değere yani yaklaşık 3.7’ye eşit olduğunu saptadı. Yani altıgen geometri, bu üç ihtimal (kare, eşkenar üçgen ve altıgen) arasından en kısa çevreye sahip olan geometrik şekildir.

Peki diğer çokgen çeşitleri (örneğin daire, yedigen, vb.) neden yok derseniz: Kare, eşkenar üçgen ve altıgen haricindeki hiçbir hariç n-kenarlı çokgen, yan yana, aralarında hiçbir boşluk kalmayacak şekilde dizilemez.

Yani tekrar altıgene dönecek olursak bir kağıdın üstüne aynı alanlı eşkenar üçgen, kare ve altıgen çizerseniz en az kalem harcayacağınız şekil altıgen olacaktır.

Peki İskenderiyeli Pappus’un ifadeleri tamamıyla doğru muydu? Bal peteği sanısı bir kağıt parçasına eşit boyutlarda hücrelere bölmenin en makul yolunun bir dizi altıgen olduğunu ifade eder. Bu ifade, Pappus'tan 1650 küsür yıl sonra, 1999 yılında matematikçi Thomas C. Hales tarafından 22 sayfalık bir makale ile ispatlanmıştır. Yani 2 boyutlu geometrilerde altıgen, gerçekten de en verimli paketleme yöntemidir.

Kelvin Problemi: 3 Boyutta Paketleme?

Ancak iş 2 boyutta bitmiyordu. 3 boyutu da düşünmek gerekmektedir. İşte 1887’de William Thompson, bilinen adıyla Lord Kelvin, bu soruyu biraz daha derin düşünerek üç boyutta inceledi. 

"En az yüzey alanı olan boşluğu (küp, diktörtgenler prizması ya da daha iyi hayal etmemiz için bir oda olabilir), eşit hacimli küçük hücrelere nasıl böleriz?" sorusunu sordu, Yani en verimli şekil neydi? Bu probleme, o zamandan beri Kelvin Problemi deniliyor.

Akıllara ilk gelen verimli tasarım küp şeklinde hücreler olsa da Kelvin bu problem üstünde düşündü ve en uygun çözümün Kelvin hücresi olarak adlandırılacak olan şekil olduğu sonucuna vardı. Bu şekil kesik kübik bal peteğine dayanan bir köpük olmakla birlikte; sekiz altıgen ve altı kareden oluşan ondörtyüzlü (tetradecahedron) bütün yüzleri hafif kavisli olarak belirtilen şekildi.

Cloudfront

Ancak üç boyutta inceleyen tek kişi Lord Kelvin değildi; Bal peteği iki katman halinde, tüp şekline benzer, tek uçları açık hücrelerden oluşur. Bu katmanlar arka arkaya bağlıdırlar. Elbette ki en basit ve ekonomik tasarımı arılar bulmuş gibi gözükse de (her tüpün ucunu dört tane eşkenar dörtgen ile kapatırlar ki bu düzenleme iki katmanın daha etkin bir şekilde iç içe geçmesini sağlar), László Fejes Tóth 1953’te arıların kullandığından daha da ekonomik bir yöntem bulmuştur. Her tüpü iki altıgen ve iki küçük kare ile kapatmanın arıların eşkenar dörtgeninden daha az bal mumu harcadığını göstermiştir.

Kelvin’in varsayımına dönecek olursak; sorunun çözüldüğü yönünde gözüküyor ve inanılıyor olmasına karşın yaklaşık 100 yıldır karşı bir örnek bulunmuyordu. Ancak Denis Weaire ve Robert Phelan, Kelvin hücresini geliştirdi ve böylelikle Kelvin’in bu varsayımını çürütmüş oldu. Weaire-Phelan Köpüğü olarak bilinen bir şekil öne sürerek gereken hesaplamaları yaptıktan sonra, Weaire-Phelan yapısının yüzey alanı Kelvin yapısından %0.3 daha az olduğunu saptamışlardır.

Weaire-Phelan yapısının optimal olduğu kanıtlanamamıştır, yani elimizde şu ana kadar en iyi olan şekildir. Weaire-Phelan hücresi, altı tane 14 kenarlı şekil ve iki tane 12 kenarlı kavisli yüzleri olan şekildir. Buna rağmen bu tasarım, başarılı bulunması dolayısıyla; 2008 Pekin olimpiyatlarında Ulusal Su Sporları Merkezi'nin tasarımında kullanılmıştır.

Bu sonuçlarla birlikte İskenderiyeli Pappus ile başlayan Bal petekleri günümüze gelene kadar üç boyutta bile incelense dahi tamamıyla doğru olduğunu söylemek zordur. Belki de Pappus’un başlattığı bu yolcuğu Kelvin, Fejes Toth, Denis Weaire ve Robert Phelan’dan sonra devam ettirecek kişinin bu yazının okurlarından çıkacaktır, kim bilir?