Ara Eksen Teoremi Nedir? Kütleçekimsiz Ortamda Bir Cismi Döndürürseniz Ne Olur?

Aşağıdaki videoda gördüğümüz, kütleçekimsiz bir ortamda, ana eksenlerinden biri üzerinde döndürülmeyen bir cismin nasıl bir davranış gösterdiğidir. İlk etapta bunun nasıl olduğunu anlamanız mümkün olmayabilir; ancak elimizden geldiğince açıklayacağız:

Öncelikle şunu temizleyelim: Aslında bulunulan ortam "kütleçekimsiz" değil, "ağırlıksız"dır. Çünkü uzayda da, hele hele Dünya'nın hemen etrafında dönen uydularda kütleçekimi bulunur. Ancak bu cisimlerin yörüngesi, sürekli serbest düşme altında olacakları şekilde ayarlandığı için, ağırlık hissetmezler. Fakat bilim dilinde bu durum, hatalı bir isimlendirme olsa bile "kütleçekimsiz ortam" (zero-gravity) olarak bilinmektedir.

Videoda Neler Oluyor?

Bildiğiniz gibi cisimler konumsal uzayda 3 boyutludurlar: en, boy ve derinlik (kimi zaman en, yükseklik, derinlik olarak da adlandırılabilir). Daha teknik terminolojiyle, cisimleri x, y ve z eksenlerinde tanımlarız. Normalde uzaydaki her cisim 3 konumsal boyutludur; ancak eğer ki bu boyutlardan biri, diğerlerine göre aşırı küçükse, 2 boyutlu olarak değerlendirmekte bir sakınca yoktur. Örneğin bir bakteri teknik olarak 3 boyutludur: mikroskop altığında baktığınızda eninin ve boyunu görebilirsiniz; ancak derinliği (bakterinin kalınlığı) o kadar küçüktür ki, bu boyut neredeyse her zaman göz ardı edilebilir. Sadece mikroskobik yapılar için değil, makroskobik dünyada da aynı şeyi görebiliriz. Örneğin ince ve uzun bir borunun uzunluğu diğer iki boyutuna (ki bu durumda, ikisi birbirine eşittir) göre o kadar uzundur ki, boruyu 1 boyutlu olarak değerlendirebiliriz. Elbette bu varsayımın hatalı sonuçlar verdiği veya geçerli olmadığı bazı durumlar vardır; ancak şimdilik onlardan söz etmeyeceğiz.

Videoda gördüğünüz borunun kalınlığı, iki boyuttaki uzunluğuna (enine ve boyuna) göre çok kısadır. Dolayısıyla bu cismi 2 boyutlu olarak varsayabiliriz. Cisimlerin dikkate alınan boyut sayısı kadar "dönme eksenleri" bulunur. Örneğin 3 boyutlu bir cisimde 3 tane, 2 boyutlu bir cisimde ise 2 tane dönme ekseni vardır. Kimi zaman bu eksenlere "temel atalet momenti ekseni" de denebilir; ancak bu teknik terimi de şimdilik göz ardı edelim. Dönme ekseni, cisimlerin kütlelerinin ve dönme momentlerinin eksenin iki tarafına eşit olarak dağıldığı eksenlerdir. Bu sayede cisimler, o eksenler etrafında döndürüldüğünde rahatlıkla ve düzgün bir şekilde dönebilirler.

Bir cep telefonunu ele alalım: Yine, cep telefonunun kalınlığı, boyu ve enine göre çok küçüktür. Nokia 3310 ve önceki nesil telefonlarda söz etmiyorsak tabii... Şaka bir yana, bir cep telefonunu 2 boyutlu varsaymakta bir sakınca yoktur. Telefonunuzu elinize alıp, daha uzun olan tarafı etrafında dönecek şekilde havaya fırlatırsanız (yakalamayı unutmayın!), düzgün ve dalgalanmaksızın dönüp elinize geri düşecektir. Benzer şekilde, kısa boyutu (eni) etrafında da döndürerek havaya atabilirsiniz ve düzgün daireler çizerek elinize geri dönüşünü izleyebilirsiniz.

Peki ya bu iki eksenden farklı bir eksende havaya fırlatmaya çalışırsanız? Örneğin, telefonun sol üst köşesinden sağ alt köşesine doğru uzanan, hayali bir "çapraz (diyagonal) eksen" boyunca döndürmeye çalışırsanız? Bunu deneyecek olursanız, telefonunuzun pratik olarak her seferinde, daha önce sözünü ettiğimiz diğer ana eksenler etrafında da döndüğünü göreceksiniz. Ana dönme eksenlerinde olanın aksine, telefonunuz kusursuz bir dönüş yapamayacak, tabiri yerindeyse "yalpalayacaktır". 

Ara Eksen Teoremi Nedir?

Boyutları birbirinden farklı üç boyutlu malzemelerde, en kısa boyutlu eksen en yüksek atalet momentine sahip "kuvvetli eksen" dir. En uzun boyutlu eksen de en düşük atalet momentine sahip "zayıf eksen" dir. Bunların her ikisi de ana eksenler olarak düşünülebilir. Uzun eksen etrafında döndürülen malzeme düşük atalet momenti ile zayıf eksende dönmeye devam eder, kısa eksen etrafında döndürülen malzeme de kuvvetli atalet momenti ile kuvveti eksen etrafında dönmeye devam eder.

Ancak bir cismin sadece ana eksenleri yoktur. İşte bu şekilde ana dönme ekseni olmayan eksenlere mühendislikte ve genel olarak fizikte "orta eksen" ya da "ara eksen" denir. Bu eksen etrafında döndürülen cisimlerin hareketlerini inceleyen matematiksel sisteme ise Orta/Ara Eksen Teoremi adı verilir. Bu teoreme göre, ara eksenleri boyunca döndürülen cisimler, eğer ki kusursuz bir fırlatma yapılmazsa (ki bu pratik olarak imkansızdır), mutlaka diğer eksenleri boyunca da dönmek zorunda kalırlar. 

Ara eksen etrafında döndürülmeye çalışılan bir malzemenin, kısa eksenindeki yüksek atalet momenti, uzun eksenindeki düşük atalet momenti ile karşılaştığında, mücadeleyi kısa eksendeki kuvvetli atalet momenti kazanır ve malzeme kuvvetli eksenden zayıf eksene doğru dönmeye başlar.

Raket Örneği

Tenisçilerin raketlerini döndürmeleri sırasında da benzer bir etki görülür. Hatta bu nedenle buna kimi zaman Tenis Raketi Teoremi veya bunu ilk fark eden kişi olan Rus kozmonot Vladimir Dzhanibekov şerefine Dzhanibekov Etkisi de denmektedir. Bu etki, ana eksenleri haricindeki bir eksen etrafında dönen cisimlerin stabil olamayacağına işaret etmek için kullanılır.

Bunu matematiksel olarak ifade etmeye çalışırsak, işler birazcık karışacaktır. Ancak buna girmeye gerek yok, sadece arkasındaki mantığı bilmeniz şu etapta yeterli. Ve bunu anlamanız için, son bir örnekle kapatacağız:

Baston Örneği

Bir bastonu sapından aşağıya doğru sallandırırsanız, yerçekiminin etkisi altında olduğu gibi yere bakacak şekilde duracaktır. Bu düşey konumdan sağa veya sola salladığınızda, gerisingeri olduğu yere dönecektir. Bu tür bir sisteme fizikte Sarkaç Modeli adı verilir. Tıpkı bir ipin ucuna bağlanan bir topun aşağıya sallandırılması sonucunda, topun nihayetinde düşey eksende sabitlenecek olması gibi... Bu tür bir cismi sabitlemek kolaydır, çünkü sistem "dengeli" bir sistemdir. 

Ancak bu durumun bir de aksi vardır: Ters Sarkaç Modeli. Bu modelde sarkaç, katı bir bağlantı elemanıdır. Örneğin bastonunuzu avcunuzun üzerine yerleştirip, yukarı bakacak şekilde sabitlemeye çalıştığınızı düşünün. Eğer ki bastonu kavramazsanız, bu şekilde sabitlemeniz çok zordur. Elinizi hızla ileri geri, sağa sola götürerek düşmeye çalışan bastonu dengelemeniz gerekir. Bunun nedeni, ters sarkaç modelinin dengeli bir sistem olmayışıdır. Dengesiz bir sistemde en ufak bir kuvvet, sistemi yıkıcı bir şekilde bozar.

İşte videoda gördüğümüz de, 2 boyutlu bir cismin ara ekseni boyunca döndürülmesi nedeniyle dengesiz bir sistem oluşturmasıdır. Böyle bir sistemde, sistemi etkileyen en ufak bir kuvvet, dengesizliği tetikleyecektir. Bu nedenle T-boru havada dönerken, bir o yana, bir bu yana bakacak şekilde yön değiştirmektedir. Normalde baston örneğinde, baston bir kere yere düştükten sonra hareket devam etmez. Sürtünme kuvveti ve etki-tepki kuvvetleri sistemi dengeler. Denge, bozulmuştur. Ancak uzayda, kütleçekimsiz ortamda aynı şey tekrar edildiğinde, cismi dengeleyecek kuvvetler bulunmadığı için, dönme devam ettiği sürece dengesizlik hali de devam edecektir. Bu nedenle cisim bir o yana, bir bu yana döner.