Bu tür bir integral hesaplaması için kalıntı teoremini kullanmak oldukça etkili bir yöntemdir. İşte adım adım nasıl yapabileceğiniz:
Tekil Noktaları Bulma: ( f(z) ) fonksiyonunun paydasını sıfıra eşitleyerek tekil noktaları buluruz: [ z^4 - 16 = 0 \implies z^4 = 16 \implies z = \pm 2, \pm 2i ] Bu noktalar ( z = 2, z = -2, z = 2i, z = -2i ) olarak bulunur.
Kalıntıları Hesaplama: Her bir tekil nokta için kalıntıları hesaplamamız gerekiyor. Kalıntı teoremi, bir fonksiyonun bir tekil noktadaki kalıntısının, o noktadaki Laurent serisinin ( \frac{1}{z - z_0} ) teriminin katsayısı olduğunu söyler. Örneğin, ( z = 2 ) noktasındaki kalıntıyı hesaplamak için: [ \text{Res}(f, 2) = \lim_{z \to 2} (z - 2) f(z) ] Aynı şekilde diğer tekil noktalar için de kalıntılar hesaplanır.
Kalıntı Teoremini Uygulama: Kalıntı teoremi, kapalı bir kontur boyunca bir fonksiyonun integralinin, o kontur içindeki tekil noktaların kalıntılarının toplamına eşit olduğunu belirtir: [ \oint_C f(z) , dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) ] Burada ( z_k ) kontur ( C ) içindeki tekil noktaları temsil eder.
Sonucu Bulma: Tüm tekil noktaların kalıntılarını topladıktan sonra, bu toplamı ( 2\pi i ) ile çarparak sonuca ulaşırız.
Bu adımları izleyerek, ( f(z) = \frac{e{z2} + \cos(\pi z)}{z^4 - 16} ) fonksiyonunun pozitif yönlü ( C ) konturu boyunca integralini hesaplayabilirsiniz. Eğer belirli bir tekil noktanın kalıntısını hesaplamakta zorlanıyorsanız, daha detaylı bir açıklama yapabilirim.
