N-Bonacci Dizisi: Fibonacci Dizisinin Genelleştirilmiş Versiyonu ile Tanışın!

Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde karşımıza çıkan bir dizidir. Bu dizi, ilk olarak Hintli matematikçiler tarafından inşa edilmiş olsa da adını Leonardo Fibonacci'den alır.^[1] Fibonacci dizisi şöyle tanımlanır:

• İlk iki elemanı $1$ olarak tanımlanır. (Esasında Fibonacci dizisinin başlangıç koşulları bazıları tarafından bir sıfırıncı terim eklenerek $F_0=0,F_1=1$ olarak da kabul edilir. Bu, kaynaktan kaynağa değişiklik gösterse de biz bu yazıda ilk iki terimi $1$ olarak ele alacağız. )
• Sonraki her elemanın bir önceki iki elemanın toplanmasıyla elde edilir.

Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şöyledir:

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,...$

Matematiksel olarak ifade edecek olursak Fibonacci dizisi, $n\in \mathbb{N}$ için $F_n$, dizinin $n.$ terimi olmak üzere $F_1=F_2=1$ ve $\forall n\ge 2,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ olarak tanımlanır.

Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahiptir; fakat bu yazının kapsamı dışında olduğundan Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan olan altın oran dışında kalan özelliklere değinmeyeceğiz.

Altın Oran

Altın oran, matematikte en çok bilinen sabitlerde biridir. $\varphi$ ile gösterilir ve yaklaşık değeri $\varphi \simeq 1.618$'dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Çünkü esas tanımı şu eşitlik ile verilir:

$\varphi =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}$

Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur, tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer, $F_n=x^n$ formunda bir çözüm önerisi getirilir), $x^2-x-1=0$ denklemine ulaşırız. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri de

$x_1=\varphi ,x_2=-\frac{1}{\varphi }$

olduğundan,

$F_n=c_1{\varphi }^n+c_2{\left(-\frac{1}{\varphi }\right)}^n$

denklemine ulaşırız, başlangıç koşulları olan $F_1=F_2=1$ koşullarını kullanırsak bilinmeyen sabitleri

$c_1=\frac{1}{\sqrt{5}},c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

olarak buluruz. Altın oran hakkında çok daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.

Tribonacci Dizisi

Matematik, en kaba tabiriyle basit şeyleri genelleştirme sporudur. Fibonacci dizisi de bundan nasibini almıştır. Tribonacci dizisi, Fibonacci dizisine benzer; fakat bu kez ardışık üç terim toplayarak sıradaki terimi oluştururuz. Ayrıca başlangıç koşullarında da ufak bir fark vardır: bazı kaynaklar ilk üç terimi $1$ kabul ederken, çoğu kaynak ilk üç terimi $F_0=0,F_1=F_2=1$ olarak almaktadır. Diğer terimler ise, sözel olarak da ifade ettiğimiz üzere, şöyle hesaplanır:

$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}+F_{n-3}$

Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalışalım. Fibonacci dizisi kısmında biraz bahsettiğimiz üzere, bu bağıntıyı çözmek için çözüm önerisi sunduğunuzda, karşınıza şu denklem çıkar:

$x^3-x^2-x-1=0$

Bu denklemi nümerik olarak çözersek, şu çözümlere ulaşırız:

$x\simeq 1.8393,x\simeq -0.41964-0.60629i,x\simeq -0.41964+0.60629i$

Buradaki reel çözüm, altın oran kadar olmasa da meşhur olmayı hak edecek türden bir sayıdır. Daha sonrasında da başlangıç koşulları yerine konursa, oldukça karmaşık olsa da yine de bir sonuç karşımıza çıkar.

N-Bonacci Dizisi

$N$-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hâlidir. İlk $N$ tane elemanın ilki $0$ ve diğerleri $1$ olarak belirlenir, daha sonraki elemanlar kendinden önceki $N$ elemanın toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel olarak ifade edecek olursak, başlangıç koşulları şöyledir:

$F_0=0,F_1=F_2=...=F_{N-1}=1$

Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:

$F_n=\sum _{k=n-N}^{n-1}{F}_k$

Dikkatinizi çektiyse biz bütün pozitif $N$ tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.

Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:

$x^N-x^{N-1}-...-x-1=0$

Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre $N$ tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin $N=1,2,3,4,...,10$ için gerçek sayı çözümlerini yazdık.

import sympy as smp
  from sympy import *
  import numpy as np
  import matplotlib.pyplot as plt
  from matplotlib.pyplot import cm
  import matplotlib.ticker as ticker
  p=[1] #N-Bonacci için denklemimizi tanımlıyoruz.
  counter=1 #N-Bonacci için sayaç.
  color = cm.rainbow(np.linspace(0, 1, 10)) #Grafik için renk paleti.
  for i in range(10):
    p=np.append(p,[-1]) #Denklemin -x^n'li kısımlarını ekliyoruz.
    r=np.roots(p) #Kökleri buluyoruz.
    r=r[~np.iscomplex(r)] #Reel kökleri alıyoruz.
    r=r.real
    r=r.round(decimals=3)
    for k in range(len(r)):
      plt.plot(counter,r[k],'*',color=color[i]) #Kökleri çizdiriyoruz.
      plt.text(counter,r[k],r[k],verticalalignment='bottom')
    counter+=1
  plt.xlabel('n')
  plt.ylabel('Kökler')
  plt.title('$x^n-x^{n-1}-...-x-1=0$ denkleminin reel kökleri')
  x_ticks = range(1,13)
  plt.xticks(x_ticks, x_ticks)
  plt.show() #Grafiği ayarladıktan sonra grafiği ekrana bastırıyoruz.
  

Python

Bu çözüm üzerinde şöyle bir gözlem yapmak mümkündür: $N$ tek sayı iken reel kök sayısı 1, çift iken reel kök sayısı 2'dir. Ayrıca görebileceğiniz (ve bekleyeceğiniz) üzere $2-$Bonacci dizisi bildiğimiz Fibonacci dizisi ile, $3-$Bonacci dizisi ise Tribonacci dizisi aynıdır. Bunlara ilave olarak $F_1=1,F_n=F_{n-1},n\ge 2$ ile bir $1-$Bonacci dizisi de tanımlamış olduk, bu dizi de aslında $1,1,1,1,1,...$ dizisidir.