Euler'in Sayısı Olarak da Bilinen ''e'' Sayısı Nedir, Ne Anlama Gelir?

Bu yazının içerik özgünlüğü henüz kategorize edilmemiştir. Eğer merak ediyorsanız ve/veya belirtilmesini istiyorsanız, gözden geçirmemiz ve içerik özgünlüğünü belirlememiz için [email protected] üzerinden bize ulaşabilirsiniz.

Özellikle sayısalcı okurlarımızın bileceği gibi, 2.71828... diye giden Euler'in Sayısı (kısaca e) sayısının matematikteki değeri çok büyüktür ve kullanım alanı da aşırı geniştir. Özellikle logaritma ve üstel sayılar konusunun vazgeçilmezidir. Ancak örneğin pi sayısından bahsederken olanın aksine, e sayısını anlamak pek de kolay değildir. pi sayısının en kolay anlatımı, "bir çemberin çevresinin çapına bölümünden doğan sayı" ifadesidir; her ne kadar tam olarak o olmasa da pi sayısı... Ama bu başka bir yazının konusu... e^x sayısının logaritmasının alınması sonucunda x'in elde edileceği şeklinde ifade edilen bu sayıya yönelik anlatımlar, e sayısının tam olarak ne olduğunu anlamamıza pek de yardımcı olmamaktadır. Bu durumda... Bu e sayısı da neyin nesi?

Diyelim ki bankada 1 TL paramız var ve bu parayı her yıl ikiye katlayacak şekilde, %100 oranında çılgın bir faiz elde ediyoruz. Bu durumda paramız nasıl büyüyecektir?

1 yıl sonra: 2 TL

2 yıl sonra: 4 TL

3 yıl sonra: 8 TL

Bu şekilde gider. Bunu, matematiksel olarak ifade etmek isteyecek olursanız, 2^x şeklinde yazabilirsiniz. Burada x, "toplamda geçen yıl miktarını" ifade etmektedir. Örneğin 3 yıl sonunda ne kadar paranız olacağını bilmek isterseniz, yapmanız gereken 2^3 işlemidir ve sonucu da 8'dir.

Peki ya 1 TL ile değil de, 3 TL ile başlasaydık ve aynı faiz oranına sahip olsaydık? O zaman şöyle bir para büyümesi görecektik:

1 yıl sonra: 6 TL

2 yıl sonra: 12 TL

3 yıl sonra: 24 TL

Görülebileceği gibi 2^x hesabı burada çalışmamaktadır, çünkü x yerine 2 sayısını girdiğimizde 4 sayısını elde ederiz ama hesabımızda 12 TL vardır. Bunu düzeltmemiz gerekiyor. Benzer şekilde, paramız 2 katına çıkmak yerine %50 faiz alıyor olsa, 1 TL ile başladığımızda şöyle bir artış elde ederdik:

1 yıl sonra: 1.5 TL

2 yıl sonra: 2.25 TL

3 yıl sonra: 3.375 TL

Yine, görülebileceği gibi, 2^x hesabı burada çalışmamaktadır. İşte hem başlangıç miktarını, hem de artış miktarını genelleştirmek için şöyle bir formül geliştirebiliriz:

Toplam Para = Başlangıçtaki Para * (1 + Artış Oranı)^x

Örneğin 5 TL ile başlasak ve faiz oranımız da %15 olsa, yukarıdaki formülü kullanarak paramızın nasıl büyüyeceğini görebiliriz: 

1 yıl sonra: 5 * (1 + 0.15)^1 = 5.75 TL

2 yıl sonra: 5 * (1 + 0.15)^2 = 6.6125 TL

3 yıl sonra: 5 * (1 + 0.15)^3 = 7.6044 TL

Pekala, bunların e ile alakası nedir? İşte şimdi ona geliyoruz. 

Tuhaf bir şey yapalım ve 1 yılda %100 faiz örneğimizi modifiye edelim: 6 ayda bir, %50 faiz isteyelim. Yani süreyi de, faizi de yarısına indirelim. 1 TL ile başladığımızda paramız şöyle büyüyecektir:

6 ay sonra: 1.5 TL

1 yıl sonra: 2.25 TL

1.5 yıl sonra: 3.375TL

İlginç bir şey fark ettiniz mi? Bunu yaptığımızda, 1 yıl sonra 2.25 TL elde ediyoruz. %100 faiz durumunda ise 1 yıl sonunda 2 TL elde ediyorduk. Yani bu ufak hileyle gelirimize 0.25 TL ek yapmış olduk. Peki ya bunu sürdürseydik? Yılı da, faizi de 3'e bölüp her 4 ayda bir %33.3 faiz isteseydik? Bu durumda:

4 ay sonra: 1.33 TL

8 ay sonra: 1.77 TL

1 yıl sonra: 2.37 TL

İnanılmaz! Sadece faizi ve faiz sıklığını aynı sayıya bölerek 1 yıl sonundaki kar marjımızı giderek artırıyoruz. Şimdi de 0.37 TL katmış olduk ve sayı her seferinde artıyor!

İyi ama bu artış sonsuza kadar sürecek mi? Yılı da, faizi de 365'e bölüp her gün %0.27 faiz istesek? 

1 gün sonra: 1.0027 TL

2 gün sonra: 1.0054 TL

...

365 gün sonra: 2.675 TL

Gerçekten de ek 0.675 TL elde ettik; ancak 365 gibi büyük bir sayıya böldüğümüzde, artık artış da yavaşlamaya başladı. İşte matematikte bu tip azalan artışları izah eden teoreme Limit Teoremi adı verilmektedir. Faiz sıklığını sonsuza kadar küçültecek olsanız da, paranız sonsuz düzeyde değil, belli bir noktada limitlenmiş bir şekilde büyüyecektir. 

Bunu izah edebilmek için, bir önceki denklemimizde Artış Oranı olarak tanımladığımız şeyi zaman cinsinden yazalım. Çünkü fark edeceğiniz gibi, 1 yılı tamamlamak için ihtiyacımız olan zaman gittikçe artarken (son hesabımızda 365 adım atmamız gerekti, bir önceki hesabımızda sadece 3, ondan öncekinde sadece 2 adım atmıştık), faiz oranını bu zaman artışıyla ters orantılı olarak azaltıyoruz. Bu durumda, Artış Oranı yerine 1/x yazmamız mümkündür. Çünkü x'i 365 adım alacak olursak, %100'lük, yani 1 değerindeki toplam maksimum faizi 365'e bölerek faiz oranını bulmaktayız. Bu durumda denklemimiz şu hali alacaktır:

Toplam Para = Başlangıçtaki Para * (1 + 1/x)^x

Hatta başlangıçtaki parayı da hep 1 birim alalım, kolaylık açısından. Bu durumda:

Toplam Para = (1 + 1/x)^x

Pek bir şey değişmedi ve hatta daha basit bir hale geldi! Ancak işte bu, ilk etapta belli olmasa da, Euler'in Sayısı olarak bilinen e'nin tanımının ta kendisidir. Tek yapmanız gereken, x'i sonsuza götürmektir. Yani faiz oranını sonsuz miktarda küçültüp, süreyi de sonsuz miktarda uzatmaktır. Tıpkı bir önceki örnekte faiz oranını 365 kat azaltırken, 1 yıllık vadeyi doldurmak için 365 kat fazla adım atmamız gibi... Sonsuz kat az faizle, sonsuz kat fazla adımda 1 yıla ulaşabiliriz. Bunu yaparak limit değerini aldığınızda elde edeceğiniz değer şu olacaktır:

1 birim süre sonra: 2 TL

2 birim süre sonra: 2.25 TL

3 birim süre sonra: 2.37037 TL

...

10 birim süre sonra: 2.5937 TL

...

50 birim süre sonra: 2.6916 TL

...

100 birim süre sonra: 2.7048 TL

...

500 birim süre sonra: 2.715568 TL

...

1000 birim süre sonra: 2.7169239 TL

Görülebileceği gibi artış oranı hızla düşmekte... Ve sayı da tanıdık bir hale gelmekte... Devam edelim:

10000 birim süre sonra: 2.7181459 TL

...

1 milyon birim süre sonra: 2.71828046 TL

1 milyar birim süre sonra: 2.718282038 TL

Böyle gider... Ve sonucunda elde ettiğimiz sayı, Euler Sayısı'nın bir yakınsamasıdır. Ne kadar minik parçaya bölerseniz bölün, bu sayı asla ve asla 2.72 TL'ye ulaşmayacaktır. Sınır, e sayısıdır. 

Elbette bu sayı sadece faiz hesabında değil; belli bir sürede kendi sayısını çeşitli oranlarda katlayan diğer her şey için geçerli... Bakteriler, insan nüfusu, üretim miktarı, ekonomik çıktı ve daha nicesi...

Bir dahaki sefer Euler'in Sayısı'nı gördüğünüzde, sonsuzluk ile ilgili çok ilginç çıkarımları olan, son derece şaşırtıcı bir sayı olduğunu ve bankada büyüyen paralarınızı hatırlayın.

Teşekkür: Bu yazı, EkşiSözlük yazarlarından tmain'in anlatımı baz alınarak hazırlanmıştır.

Gökyüzündeki Bulutlar, Kuş ve Bilim

Filler, Harika Birer Yüzücüdürler!

Yazar

Çağrı Mert Bakırcı

Çağrı Mert Bakırcı

Yazar

Evrim Ağacı'nın kurucusu ve idari sorumlusudur. Popüler bilim yazarı ve anlatıcısıdır. Doktorasını Texas Tech Üniversitesi'nden almıştır. Araştırma konuları evrimsel robotik, yapay zeka ve teorik/matematiksel evrimdir.

Konuyla Alakalı İçerikler
  • Anasayfa
  • Gece Modu

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim